نظرية النسبية العامة...... General theory of relativity

كان موضوعى السابق " نظرية النسبية العامة " ، موضوعا ً لمن يريد ان يتعرف على هذه النظرية الرائعة بدون الخوض فى معادلاتها التى اعترف انها صعبة نوعا ً ما .
ولكن هذا الموضوع ، وضعته للذين يريدون ان يتعرفوا اكثر على النسبية العامة و يعرفوا قدرا ً من معادلاتها ومفاهيمها الرياضية .
فى هذا الموضوع سأضع بعض المفاهيم الرياضية الخاصة بالنسبية العامة ، وسأخاول بقدر الإمكان تبسيطها حتى تدخل الى الأذهان بسهولة .
من المفاهيم التى سنتناولها :
1 - مفهوم التنسور
2 - التنسور المترى
3 - معادلات حقل أينشتاين
4 - حل شوارزشيلد لمعادلات حقل اينشتاين ( شوارزشيلد مترك Schwarzschild metric)

1 - مفهوم التنسور :
ببساطة وحتى لا ندخل فى التعريف الجاف له ، التنسور كمية يمكن ان نعبر عنها بمصفوفة ، تخضع هذه الكمية لقوانين الجبر الخطى العادية ، ويعد التنسور تعميم رياضيى للمصفوفات و باقى عناصر الجبر الخطى .
وهذا التعريف يعد ابسط تعريف للتنسور ،ولنفهم التنسور بشكل اوضح سنستعين بأمثلة من النسبية العامة كالتنسور المترى ، وتنسور الطاقة - كمية التحرك

- التنسور المترى :
قبل ان نتكلم عن التنسور المترى ، نتكلم عن المترك metric ، من معرفتنا فى الهندسة الإقليدية ان المسافة المكانية ثلاثية الأبعاد او عنصر الطول line element بـ :

فى الرياضيات نسمى العلاقة اخاصة بمربع الطول بالمترك metric ، والعلاقة السابقة تسمى المترك الإقليدى Euclidean metric ، نريد الأن تكوين التنسور المترى للمترك السابق ،كما قلنا يمكننا تمثيل التنسور على هيئة مصفوفة ، عند التعامل مع نظام له n من الأبعاد يكون التنسور المترى له بارة عن مصفوفة مربعة n × n اى عدد الأعمدة يساوى عدد الصفوف يساوى عدد ابعاد النظام ، وفى النظام الإقليدى السابق تكون المصفوفة المربعة 3 × 3 ، ولكن لم نعرف حتى الأن كيفية تكوين هذا التنسور المترى ، يجب ان نراعى ان التسور المترى سيكون مصفوفة قطرية ، الان عناصر القطر النازل نحددها كالأتى ، العنصر الأول هو معامل الجزء التفاضلى فى الحد الأول من المترك اى 1 ، والعنصر الثانى هو معامل الجزء التفاضلى فى الحد الثانى من المترك اى 1 ، والعنصر الثالث هو معامل الجزء التفاضلى فى الحد الثالث من المترك اى 1 ، بهذا يمكن ان نمثل التنسور المترى على شكل مصفوفة كالتالى :

نلاحظ ان التنسور المترى يرمز له بالرمز g _ αβ ولكن القارئ فى النسبية العامة يجد رمز للتنسور المترى على الشكل g ^ αβ ، الرمز السابق هو التنسور المترى نفسه ولكن عناصر القطر النازل فى المصفوفة ترفع الى الأس 1- ، اى ان التنسور المترى g ^ αβ للمترك الإقليدى هو :

ومن هذا نجد ان التنسورين متساويين ويكافئان مصفوفة الوحدة ، ونتناول مثال اخر عن التنسور المترى ، من معرفتنا فى النسبية الخاصة يمكن ان نصف المسافة الزمكانية الرباعية الأبعاد بـ :

نعتبر c = 1 ، يكون التنسور المترى على الشكل :

وهذه المصفوفة تسمى منكوفسكى مترك Minkowski metric .
ومن الأن عدما نتعامل مع تنورات مترية فى النسبية يجب ن نراعى ان تكون المصفوفة 4 × 4 لأننا نتعامل فى النسبية مع نظام رباعى الأبعاد .
كان هذا ملخص لموضوع التنسور المترى metric tensor ، مع ملاحظة ان من لا يمتلك معرفة

3- إستنتاج المترك metric من التنسور المترى metric tensor :
كما عرفنا يمكن تمثيل المترك metric بتنسور يسمى التنسور المترى metric tensor ، وتعلمنا كيفية التمثيل ، الأن سنناقش عملية إستنتاج المترك من التنسور المترى ، سبق ان وضعنا المترك الإقليدى على شكل تنسور على الصورة :

ومن هذا نستنتج ان المترك الإقليدى على الشكل :

وبما اننا إتفقنا على إستعمال مصفوفة 4 × 4 للتعبير عن التنسور المترى فى النسبية ، إذا ً القانون التالى سيكون لتنسور على هيئة مصفوفة 4 × 4 .
الأن نريد وضع قانون محدد لإستنتاج المترك من التنسور المترى ، دعنا نعبر عن التنسور المترى كالأتى :

إذا يكون المترك المستنتج من التنسور على الشكل :

وضعت تفاضلات الإحداثيات مرقمة بـ 1 و 2 و 3 لإختلاف الإحداثيات من نظام الى اخر .
4- تنسور الطاقة - كمية التحرك Energy - momentum tensor :
قبل ان نتكلم عن Energy - momentum tensor نعطى فكرة مبسطة عما يسمى بالمتجهات الأربعة four - vectors ، كما نعلم من النسبية الخاصة اى حدث يوصف بأربعة إحداثيات ct و x و y و z نريد ان نختصر العملية بعلاقة واحدة تصف الحدث ، يمكن ان نقول ان الحدث x ^ α ( مع ملاحظة ان α ليست عبارة عن اس ) ( او السطح ) بـ :

( الأرقام 0 و 1 و 2 و 3 ليست اسس )
من الملاحظ ان x ^ 0 تعبر عن إحداثى الزمن ، إذا ً اى متغير سنصفه بهذه الطريقة تكون المتغير ^ 0 هو المتغير فى الزمن ، ولتوضيح هذا نأخد المثال الأهم بالنسبة الينا فى هذا الجزء وهو وصف كمية التحرك ، نصف كمية التحرك بطريقة المتجهات الأربعة بالشكل :

ومعنى هذا التعبير الرياضى ان كمية التحرك تحلل الى اربع مركبات فى المكان والزمن ، وقيمة متجه كمية التحرك فى الزمن يساوى طاقة الجسيم على سرعة الضوء .
والأن لنذهب الى Energy - momentum tensor ، هذا التنسور يرمز له بالرمز وهو يعنى تدفق كمية تحرك P^α عبر سطح x^β ، هذا هو مفهوم الـ Energy - momentum tensor ، والأن نعبر عن واحدة من اهم مكونات هذا التنسور وهو تدفق كمية التحرك P^0 عبر السطح x^0 اى فى الزمن ، وهو ما يعرف بكثافة الطاقة energy denstiy ويرمز لها بالرمز T ^ 00 ، وتساوى كثافة الجسيم مضروبة بمربع سرعة الضوء ، ويمثل الـEnergy - momentum tensor بمصفوفة على الصورة :

وانوه ان هذه هى ليست الصورة الوحيدة لـ Energy - momentum tensor وهذا التنسور موضوع كبير وعميق لن ندخل اليه كثيرا ً الأن ، لأن هذا الموضوع يكتب ليعطى فكرة مبسطة عن المفاهيم الرياضية ، اما التفصيل الرياضيى فى موضوع اخر إن شاء الله .



سؤال عن سبب تسمية X^0 بالسطح اليس هو بعد؟ ام انك تقصد سطح ct=constant في الفراغ الرباعي الأبعاد
وما معني "تدفق كمية التحرك"؟

بالنسبة الى السطح فأنا اقصد ct = constant وبالنسبة الى تدفق كمية التحرك :
نعرف ان كمية تتدفق عبر سطح معين بمقدار يحدده حالة السطح ، فمثلا ً المجال المغناطيسى يتدفق عبر الأسطح بمقدار يعتمد على مساحة السطح ، وكذلك كمية التحرك اما بالنسبة الى تدفق كمية التحرك فى النسبية العامة فالـالـEnergy - momentum tensor هو الذى يحدد هذا التدفق ، واما إن كنت تبحث عن علاقة رياضية فيمكن وصف اى عنصر من عناصر التنسور بالعلاقة التالية :

حيث ρ هى كثافة الجسيم ، و U هى الصيغة السرعة فى المتجهات الأربعة حيث يكون الراصد فى الجسيم ذا سرعه فى الزمن تساوى سرعة الضوء ( نعلم ذلك من النسبية الخاصة ) وسرعته فى المكان تكون صفرا ً ، اما بالنسبة الى راصد اخر فإنه يرى سرعة الجسم المتحرك فى الزمن c وسرعته فى x هى السرعة التى يسير بها الجسم اى v .
وعند وضع α = 0 و β = 0 نجد ان حاصل ضرب U^0 × U^0 تساور مربع سرعة الضوء اى ان تدفق كمية التحرك فى الزمن يساى كثافة الجسيم × مربع سرعة الضوء ، وعند حل المعادلة الخاصة بالتنسور نجد ان تدفق كمية التحرك فى سطح اخر = 0 ، وهناك حالة خاصة تسمى حال الوسط المثالى وسنتناولها لاحقا ً .




5- معادلات حقل اينشتاين - تنسور اينشتاين Einstien field Eqs - Einstien tensor :
معادلات يسمع عنها كثير من الناس ولا يعلم احد ماهى وما معناها وما فائدتها ، اولا ً نضع صيغة المعادلات :

حيث G^αβ هو تنسور يدعى بتنسور اينشتاين Einstien tensor ، وهذه المعادلة تصف خصائص حقل الجاذبية النتج من كتلة معلومة ، وتصف الإنحناء ، اى بإختصار تصف نظرية الجاذبية من وجهة نظر اينشتاين .
وكأى معادلة لها حلول ، فإن معادلة اينشتاين حلولها هى المتريات metrics اى عند اكتشف مترك جديد إعتمادا ً على هذه المعادلات فإنهذا النترك يمثل حل للمعادلة ، حيث يصف هذه المترك حقل الجاذبية .
ملحوظة اخيرة عند التعامل مع المعادلة سنسميها EFE .
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~
6 - حل شوارزشيلد لمعادلات حقل اينشتاين - شوارزشيلد مترك
Schwarzschild solution for EFE - Schwarzschild metric :
عرفنا ما هى معادلات حقل اينشتاين ، وعرفنا اهميتها وتفسيرها ، الأن سنتناول احد اهم حلولها وهو حل شوارزشيلد ، كما قلنا ان حل EFE يمثله مترك يصف حقل الجاذبية ، وهذا ما فعله شوارزشيلد قد وضع مترك بأسمه على الصورة :

نرى ان هذا المترك يستخدم نظام الإحداثيات الكروية الذى يكون فيه :

حيث r هو نصف قطر الجسم الكروى ( النجم مثلا ً ) والزوايا θ و Ф هى الزوايا ما بين إرتفاع الكرة ونصفها قطرها وعرض الكرة ومسقط النقطة التى ينتهى عندها نصف القطر .

URL=https://2img.net/r/ihimizer/i/500d.gif/][/URL]

هالحقل الجاذبى الموصوف من قبل Schawrchild mretic له حالات سمى بالمفردات singularities ويكون الجال الجاذبى من المفردات عند r = 0 و r = Schawrzchild raduis ، فعند الحالة r = Schawrzchild raduis تون الجاذبية كبيرة جدا ً لدجة إستحالة هروب الضوء منها ( وهو وصف لحقل جاذبية افق حدث الثقب الأسود ) ، واما عند الحالة r = 0 نجد ان الجاذبية تكون لا نهائية ( وهو وصف لحقل جاذبية مركز الثقب الأسود ) لذا إرتبط الـ Schawrchild mretic بفكرة الثقب الأسود .
كانت هذه افكار سريعة عن اشهر مفاهيم النسبية العامة الرياضية ، امل ان تكونوا قد استفدتم من شرحى ، وإن كان هناك اخطاء فأعذرونى فالكمال لله وحده .
واقول لمن لم يكتفوا بهذه النبذات عن رياضيات النسبية العامة ، ان لنا لقاء مع موضوع " التفصيل الرياضى للنسبية العامة " .
هذا العمل يخص احد الاخوة وأسمة الغير حقيقي أينشتين وأنا ننقلت الموضوع لما فية من شرح جميل
جعلة الله في ميزان حسناتة

يمكن تقسيم النسبية إلى خاصة وعامة
أما النسبية الخاصة فهي تبحث في اختلاف ظواهر الأحداث دون جواهرها (الأحداث في جوهرها لا تتغير ولكن يمكن أن يتغير زمنها أو مكانها أو ترتيبها الزمني) بالنسبة لمتحركين نسبياً بعضهما لبعض
بحيث أن "كلاً منهم لو ترك جسماً اختبارياً , مجرد ترك دون دفع, كان يمسكه بيده فإنه لن يتحرك بالنسبة له بعد تركه إياه" ... نسمي من يمتع بهذه الصفة بين " --- " : المشاهد القصوري
وينبغي أن تكون قوانين الطبيعة الأصيلة غير متغيرة بالنسبة لكلا المشاهدين القصوريين, فلو اختلف "قانون" من مشاهد قصوري لآخر فإنه تسقط عنه صفة القانونية
والقوانين هي ليست فاعلة في الكون بل هي وصف لفعل الله سبحانه في الكون


أما النسبية العامة فهي أعم وأشمل من النسبية الخاصة
وهي أيضاً تبحث تبحث في اختلاف ظواهر الأحداث دون جواهرها (الأحداث في جوهرها لا تتغير ولكن يمكن أن يتغير زمنها أو مكانها أو ترتيبها الزمني) بالنسبة لمتحركين أو ساكنين (ساكنين نسبياً ولكن ليسا في نفس المكان أوالزمان أو كليهما) نسبياً بعضهما لبعض
بحيث أن "كلاً منهم لو ترك جسماً اختبارياً , مجرد ترك دون دفع, كان يمسكه بيده فإنه يمكن أن يتحرك بالنسبة له بعد تركه إياه" ... نسمي من يمتع بهذه الصفة بين " --- " : المشاهد العام (أو اللاقصوري, والقصوري هو حالة خاصة من اللاقصورى)
وينبغي أن تكون قوانين الطبيعة الأصيلة غير متغيرة بالنسبة لكلا المشاهدين العامين (اللاقصوريين), فلو اختلف "قانون" من مشاهد عام لآخر فإنه تسقط عنه صفة القانونية

وينبغي التنبيه أن كل قانون غير متغير بالنسبة لمشاهدين عامين (لاقصوريين) هو بالتالي غير متغير بالنسبة لمشاهدين قصوريين .... ولكن .... العكس ليس بصحيح, !ذ ليس بالضرورة أن تكون صلاحية صيغة رياضية ما تصف الكون أو أجزاءه "قانون" بالنسبة لمشاهد قصوري مستلزمةً صلاحيتها بالنسبة للمشاهد العام


أما ميكانيكا الكم:
فهي علم يبحث في كيفية تصرف كل ما هو دون المجهري بالأخص في مجالات جذب غير قوية.
وميكانيكا الكم هي علم غريب (يدعي ريتشارد فينمان الحاصل على جائزة نوبل على أعماله في ميكانيكا الكم أنه لم يوجد و لا يوجد أحد على وجه البسيطة, حتى هو حتى الآن, فهم أو يفهم ميكانيكا الكم, على عكس النسبية) ولكنه صحيح معملياً, فهو لا يستطيع وصف الأفراد من الالكترونات مثلاً وصفاً دقيقاً كاملاً وإنما يصف احتمالية خصائصه وصفاً (احتمالياً عند القياس أو تراكبياً فيما دون القياس) كاملاً, ولكن علم ميكانيكا الكم هو علم يشجع روح الجماعة فقوانينه تصف تصرفات الجماعات الكبيرة وصفاً دقيقاً كاملاً على قدر كبر الجماعة, فكلما زادت عدد جماعة الالكترونات (على سبيل المثال لجسيمات دون المجهرية) زادات معها دقة وصف قوانينه لها وصفاً دقيقاً كاملاً!

وقد تم الجمع بين النسبية الخاصة وميكانيكا الكم في نظرية أعم هامة جداً تسمى "الاكتروديناميكا الكمية" أو QED أما تجميع النسبية العامة مع ميكانيكا الكم فهو إلى الآن في مشاكل ولم تكتمل نظرية واحدة إلى درجة قابلية تحقيقها في المعمل بحيث تجمع بين النظريتين

أما السؤال عن أيهما أشمل فهو سؤال صعب جداً, الإجابة السطحية عليه تقول أنه ليس أحدهما أشمل من الآخر لأن موضوع تناولهما مختلف
ولكن في اعتقادي أن تطوير النسبية العامة إلى نسبية أعم تشمل تغاير جواهر الأحداث كشمولها لتغاير ظواهرها بالنسبة لمشاهدين مختلفين يمكن أن يجعل النسبية الأعم (وليست العامة) أشمل